Richiami di teoria dei gruppi: gruppi, sottogruppi, sottogruppi normali, quoziente di gruppi, omomorfismi tra gruppi, teoremi di omomorfismo. Gruppi commutativi. I gruppi Z e Z_m.
Anelli commutativi: definizione di anello, anelli commutativi, ideali di un anello, teoremi di omomorfismo, anelli quozienti. Elementi particolari di un anello: divisori dello zero, elementi invertibili. Domini di integrità. Ideali primi e massimali, ideali radicali. Operazioni con gli ideali: somma, intersezione, prodotto, quoziente. Generatori di un ideale, ideali finitamente generati. Definizione dell'anello dei polinomi in una ed n variabili. Anelli graduati, ideali omogenei.

Moduli su un anello: definizione di modulo, sottomodulo, modulo quoziente. Teoremi di omomorfismo. Somma diretta di moduli, moduli liberi, generatori di un modulo, moduli finitamente generati. Ogni modulo è quoziente di un modulo libero. Moduli graduati.

Anelli e moduli noetheriani: Catene di ideali, definizione di anello noetheriano, varie caratterizzazioni degli anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Moduli noetheriani.

Introduzione alle basi di Groebner: alcuni problemi risolubili con le basi di Groebner. Alcuni cenni al legame con la geometria. "Membership problem". Esempio di soluzione di un sistema lineare con Gauss. Il caso di una variabile: divisione tra polinomi, esistenza unicita' di quoziente e resto. Ogni ideale e' principale. Massimo comun divisore. Calcolo di massimo comun divisore in un esempio. Soluzione del problema di appartenenza, di un sistema di polinomi, di trovare una base di K[x]/I.

Term orders: termini/monomi/power products. Definizione di term order. Ordinamento lex, deglex, degrevlex. Esempi. Artinianità dell'ordinamento. Esercizio: se f è un polinomio omogeneo e l'ordinamento è degrevlex allora X_n divide f se e solo se X_n divide il leading term di f. Ideali monomiali: definizione; appartenenza di un polinomio ad un ideale monomiale; sistema minimale di generatori. L'ideale iniziale in(I)=Lt(I).

L'algoritmo di divisione in più variabili: definizione di riduzione. Esempi. Esempio di non confluenza della riduzione. Esercizio sulla riduzione. Teorema di divisione.

Basi di Groebner: definizione. Teorema di caratterizzazione delle basi di Groebner. Una base di Groebner e' un sistema di generatori.
Esistenza. Dimostrazioni. Esempio: la base di Groebner dipende dall'ordinamento. Nella divisione per una base di Groebner i quozienti non sono unici, il resto sì. Esempi/esercizi tra cui dimostrare che la confluenza della riduzione è equivalente ad essere base di Groebner. Problema dell'unicità delle basi di Groebner: 1) Basi di Groebner minimali e ridotte: proprietà e dimostrazioni. 2) Base di Groebner universali: cenni.

Algoritmo di Buchberger: definizione di S-Polinomi. Esempi di calcolo. Teorema di Buchberger. Algoritmo. Dimostrazione dell'algoritmo. Esempi di funzionamento dell'algoritmo. Esercizi sul calcolo di S-polinomi e basi di Groebner.

Funzioni di Hilbert: Introduzione. Osservazioni sulla definizione di anello e modulo graduato. L'anello dei polinomi. Definizioni equivalenti di sottomodulo omogeno. Graduazione standard sul quoziente. Ker e Im di un omomorfismo omogeneo sono omogenei. La funzione di Hilbert e la serie di Poincare dell'anello dei polinomi. Esempi molto semplici di calcolo "manuale" della funzione di Hilbert di un quoziente per un ideale monomiale. Cenni sul fatto che dimensione/molteplicità/genere sono dati leggibili dalla funzione di Hilbert. Cenni sul teorema di Hilbert Serre. Dimostrazione del teorema di Macaulay (la funzione di Hilbert dell'ideale è uguale a quella dell'ideale
iniziale).

Calcolo simbolico: pacchetti di calcolo simbolico. Introduzione a Maple. Cenno sulla programmabilità di Maple. Esempi sviluppati con l'uso del calcolatore.

Testi seguiti:
W. Adams, P. Loustaunau, An introduction to Groebner bases, AMS.
M.F. Atiyah, I.G. Macdonald,  Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward algebraic geometry, GTM, Springer Verlag.
B.W. Char et al. Maple V, First leaves: a tutorial introduction to Maple V.
A. Heck, Introduction to Maple.
M. Kreuzer, L. Robbiano, Computational Commutative Algebra 1, Springer Verlag.